Деревянные детали не моют
А после каждого занятия флейты рекомендуется разбирать и протирать тряпочками на шомполе и/или специальными мягкими шуршиками. Что-то такое обычно дается в комплекте. (если у вас просто шомпол, то на него как нибудь наматываете подходящий кусок материи и протираете изнутри). Там где сам свисток глубоко, где лезвие свистка лазать не надо (или очень аккуратно). Лезвие тонкое и легко повреждается.
Смазкой изнутри их не покрывают, а обрабатываются чем то на изготовителем (парафином/воском/маслом кажется), он впитывается и предохраняет дерево.